$x^2+xy+y^2=\begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1/2 \\ 1/2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\,$より$\,A=\begin{pmatrix}1 & 1/2 \\ 1/2 & 1\end{pmatrix}\,$とおくと

\,

\begin{aligned}
  \quad \det(\lambda E-A) &= \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1/2 \\ -1/2 & \lambda-1 \end{vmatrix} \\
  &= (\lambda-1)^2-\left( \dfrac{1}{\,2\,} \right)^2 \\
  &= \left\{ (\lambda-1)+\dfrac{1}{\,2\,} \right\}\left\{ (\lambda-1)-\dfrac{1}{\,2\,} \right\} \\
  &= \left( \lambda-\dfrac{1}{\,2\,} \right)\left( \lambda-\dfrac{3}{\,2\,} \right)=0
\end{aglined}

\,\\

よって，$A\,$の固有値は$\,\dfrac{1}{\,2\,},\;\dfrac{3}{\,2\,}$

\,\\

$\lambda=\dfrac{1}{\,2\,}\,$の時$\,\lambda E-A=\begin{pmatrix}-1/2 & -1/2 \\ -1/2 & -1/2\end{pmatrix}\,$だから

\,

固有値$\,\dfrac{1}{\,2\,}\,$に対応する大きさ$\,1\,$の固有ベクトルは$\,\dfrac{1}{\sqrt{\,2\,}}\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$

\,\\

$\lambda=\dfrac{3}{\,2\,}\,$の時$\,\lambda E-A=\begin{pmatrix}1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2\end{pmatrix}\,$だから

\,

固有値$\,\dfrac{3}{\,2\,}\,$に対応する大きさ$\,1\,$の固有ベクトルは$\,\dfrac{1}{\sqrt{\,2\,}}\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$

\,\\

よって，$U=\dfrac{1}{\sqrt{\,2\,}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\,$とおくと$\,A=U\begin{pmatrix}1/2 & 0 \\ 0 & 3/2\end{pmatrix}U^{-1}\,$より

\,

\begin{aligned}
  \quad x^2+xy+y^2 &= \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \\
  &= \begin{pmatrix}x & y\end{pmatrix}U\begin{pmatrix}1/2 & 0 \\ 0 & 3/2\end{pmatrix}U^{-1}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \\
  &= \begin{pmatrix}X & Y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1/2 & 0 \\ 0 & 3/2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix} \\
  &= \dfrac{1}{\,2\,}X^2+\dfrac{3}{\,2\,}Y^2
\end{aligned}

\,\\

ただし，$\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}=U^{-1}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\dfrac{1}{\sqrt{\,2\,}}\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\dfrac{1}{\sqrt{\,2\,}}\begin{pmatrix}x-y \\ x+y\end{pmatrix}$

\,\\

$x^2+xy+y^2=3\Longleftrightarrow\dfrac{1}{\,2\,}X^2+\dfrac{3}{\,2\,}Y^2=3\Longleftrightarrow\dfrac{X^2}{(\sqrt{\,6\,})^2}+\dfrac{Y^2}{(\sqrt{\,2\,})^2}=1$